حاسبة القطع الناقص: المساحة والمحيط والانحراف المركزي

Q: ما الفرق بين نصف المحور الأكبر ونصف المحور الأصغر؟

**نصف المحور الأكبر ($a$)** هو نصف أطول قطر — يُقاس من المركز إلى أبعد نقطة على الشكل. **نصف المحور الأصغر ($b$)** هو نصف أقصر قطر. إذا تساويا أصبح الشكل دائرة. أدخل $a \geq b$ للحصول على انحراف مركزي صحيح.

Q: لماذا لا توجد صيغة مضبوطة لمحيط القطع الناقص؟

يستلزم محيط القطع الناقص متسلسلة لانهائية للتعبير عنه بدقة — لا يمكن اختزاله في صيغة بسيطة تجمع $a$ و$b$ و$\pi$. تُوجد تقريبات متعددة؛ يستخدم هذا الحاسب تقريب راماناجان الثاني الأكثر دقة، إذ لا يتجاوز خطؤه 0.0003% لقطوع ناقصة تتراوح بين شبه الدائري وشديد الاستطالة.

Q: كيف يرتبط الانحراف المركزي بشكل القطع الناقص؟

يقيس الانحراف المركزي ($e$) مدى استطالة القطع الناقص. عند $e = 0$ يكون الشكل دائرة تامة، وكلما اقترب من 1 ازداد الشكل استطالةً. مدار الأرض حول الشمس له $e \approx 0.017$ (شبه دائري)، بينما قد تصل قطوع ناقصة المذنبات الشديدة الاستطالة إلى $e \approx 0.99$.

Q: ما أبرز التطبيقات الواقعية للقطع الناقص؟

تشمل تطبيقاته: المدارات الكوكبية، ظل الدائرة المائلة، مضامير الجري البيضاوية، المرايا الإهليجية، مقطع الأسطوانة المقطوعة بزاوية، وكثير من العدسات. في العمارة، تُوزّع الأقواس البيضاوية الأحمال بطريقة تختلف عن الأقواس الدائرية.

النتيجة

المساحة

125.6637 وحدات مربعة

المحيط

~ 41.3863 وحدات

الانحراف المركزي

0.780625

نصف المحور الأكبر (a)

8 وحدات

نصف المحور الأصغر (b)

5 وحدات

نصف المحور الأكبر (a)8 وحدات

نصف المحور الأصغر (b)5 وحدات

المساحة125.6637 وحدات مربعة

الانحراف المركزي0.7806

قطع ناقص نصفا محوره 8 و5: المساحة = 125.6637 وحدة مربعة.

كيف تعمل هذه الحاسبة

استخدم الشرح لفهم طريقة الحساب والافتراضات وحدود النتيجة العملية قبل الاعتماد عليها.

ما هو القطع الناقص؟

القطع الناقص منحنى بيضاوي مغلق. كل نقطة على القطع الناقص يتساوى مجموع بُعدَيها عن نقطتين ثابتتين تُسميان البؤرتين. الدائرة حالة خاصة من القطع الناقص تتطابق فيها البؤرتان مع المركز ويتساوى المحوران.

شرح المدخلات

نصف المحور الأكبر ( $a$ ): نصف أطول قطر في الشكل — المسافة من المركز إلى أبعد نقطة.
نصف المحور الأصغر ( $b$ ): نصف أقصر قطر. يجب أن يكون $b \leq a$ دائماً.

الصيغ

القياس	الصيغة
المساحة	$A = \pi a b$
المحيط (راماناجان)	$P \approx \pi(a+b)\left(1 + \dfrac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right)$
الانحراف المركزي	$e = \sqrt{1 - b^2/a^2}$

حيث $h = \dfrac{(a-b)^2}{(a+b)^2}$

مثال محلول

لقطع ناقص بـ $a = 8$ و $b = 5$ :

A = \pi \times 8 \times 5 \approx 125.66\text{ وحدة مربعة}

e = \sqrt{1 - 25/64} \approx 0.781

يتراوح الانحراف المركزي بين 0 (دائرة) وما يقارب 1 (شكل ممدود جداً). عند $e \approx 0.78$ يُعدّ هذا القطع الناقص متوسط الامتداد.

تفسير الانحراف المركزي

الانحراف المركزي ( $e$ )	شكل القطع الناقص
0	دائرة تامة
0–0.5	بيضاوي خفيف
0.5–0.9	ممدود بوضوح
قريب من 1	رفيع جداً، يشبه خطاً

ملاحظة عن المحيط

خلافاً لمحيط الدائرة ( $C = 2\pi r$ )، لا توجد صيغة بسيطة مضبوطة لمحيط القطع الناقص. يتطلب الحساب الدقيق متسلسلة لانهائية. يستخدم هذا الحاسب تقريب راماناجان الثاني الذي تقل نسبة خطئه عن 0.0003% لمعظم أشكال القطع الناقص.

الأسئلة الشائعة

ما الفرق بين نصف المحور الأكبر ونصف المحور الأصغر؟

لماذا لا توجد صيغة مضبوطة لمحيط القطع الناقص؟

كيف يرتبط الانحراف المركزي بشكل القطع الناقص؟

ما أبرز التطبيقات الواقعية للقطع الناقص؟